从质点几何到九种平面几何

1)质点几何：初中时代

相信这里绝大部分人和我一样，都读过那么一些书，一本或者几本，这些书曾经深深地影响过他们自己。特别是中学时代，因为那时大家都慢慢俱备了一定的阅读理解能力，但是另一方面脑子里的世界观却还比较单薄，容易受外界的影响，所以那时用心阅读过几本好书往往能对自己的世界观乃至学业、性格等产生很大的影响。我相信许多人都有这个体会，对不对？

我这个人以前比较懒惰，读书不多，能逃避就逃避。这里注册的会员，如果单论文学作品，不是我谦虚，随机挑一百人的话，肯定有九十五个人的阅读量超过我，因为我只看过很有限的一些书，例如鲁迅全集，我就不曾看过，至今也提不起兴趣去看。但是，我看过的那些书，特别是中学时代读过的，许多都影响过我。如果细数起来，哪本书对我影响最大呢？答案是“九种平面几何”，因为这本书差点改变了我的学业。

平面几何，大家都知道是怎么回事情，初中初涉平面几何(小学那些简单的东西不算)，我就喜欢上这门课，相信这里许多人也一样。其中有些命题，简洁优美，非常有趣，但是有些推理证明，难度却很大，能让人想破脑袋。那时我人很懒，应付功课倒不成问题，但是若论主动做点习题，主动读点功课以外的书，那无异于天方夜谭。偏偏那时我是老师和学校心目中参加数学竞赛的主要人选之一。

话说那个学期学完三角形后，数学老师将我和别的几个人叫去，给了我们一些题目，至今记得的有两个，证明西瓦定理、梅涅劳斯定理及其逆定理，第二天得给出证明，交卷。

作为学生，我虽然很懒，但是如果老师给我什么差事，我一般还是老老实实完成，怎么说也不能明着让老师失望，是不是。照例，我那天晚上试图证明这两个定理，可是左一实线，右一虚线，弄得满头大汗，草稿纸是撕了一张又一张，可是就是证明不出。这样折腾了好几个小时，我一会儿灰心丧气，一会儿恼羞成怒，自信心那不用多说，当然是严重受挫，似乎掉进了冰窟窿里。

第二天，关于这两个定理的证明，我交的是空白卷。在数学老师面前，我刻意装出一副无所谓的样子，其实内心羞愧死了。心里又估摸着你以后大不了不让我参加这劳什子竞赛，这对我或许还是好事。不料数学老师很委婉地说了我几句后，说这两个定理你能否证明，其实一点也不重要，重要的是它们能训练你怎么样去系统思考，怎么样做到有条不紊。

证明几何题真能训练系统思考，能做到有条不紊？我有些吃惊，因为我向来是拿起题就做，毫无章法，东一枪，西一炮的，做完后又抛诸脑后，然后是去疯玩，最多准备点说辞在父母面前搪塞。老师见我不信，说你回家看看这本书吧，依你的悟性，只要不懒，应该能看懂的。说罢借给我一本平装三十二开的书：“质点几何学”，只是因为事隔好多年，书的作者是谁，哪个出版社出版的，现在都没有印象了。

那本书我前后起起落落大约看了两个月，迷迷糊糊、似懂非懂地看了个大概，因为是借的，所以尽可能地要早点归还(尽管我的数学老师肯定不在意我拿多久)。质点几何学和中学课本那些东西截然不一样(当然内容差不多，都是平面几何是不是，但是其表述截然不一样)。从中我开始知道什么是笛卡儿标架，什么是矢量，甚至能照瓢画葫芦一般知道计算矢量的内积和外积。当然，质点几何学的核心部分是将平面几何的点看成是带质量的点，一个给定的几何图形就是一个转动意义下平衡的图形(大家知道，这相当于牛顿物理中的杠杆原理和动量矩守恒)。用质点几何学，我能三下五除二地证明我早先一筹莫展的西瓦定理、梅涅劳斯定理及其逆定理。当然，我不能在真正的数学竞赛里用上质点几何，但是这本书却给我带来了震撼和欣喜。

以正统的教科书眼光来看，质点几何学是某种意义上的奇山异石，或者旁门左道。既然是奇山异石或者旁门左道，它自然是饶有趣味的，因为它不会让你觉得千篇一律的混凝土，而是让你觉得像一条林中小径，让你相信前方有一些不知名的蘑菇或者野花待你去采摘。而那时的你是天真无邪的，无忧无虑的，目光是晶莹的，手心是空的，那林中小径是你能想像得到的最美的景色之一。实际上那本书是我整个初中时代读过的集知识和趣味于一体的少数几本书之一，和那些令人生厌、令人头疼的习题集或者教科书相比，它可爱得多。它让我相信，学习知识原来真的可以走不同的途径，殊途同归。从此，我对数学的兴趣上升了半个台阶，尽管还是和以前那样学得浮躁，一点也不踏实。

我那位初中数学老师将我从初一带到了初三。初三后，因为某种特别的原因我没有参加中考，而转入了另外一所中学，也就是我一个表姐任教的中学，继续读高一。当然啦，大家千万不要怀疑我没有参加中考而转入另外一所中学是因为我害怕考试而走后门......其实两者没有什么关系，我初中所读的学校恐怕比就读的高中更好一些。之所以转校，完全是因为一个表姐在那里教高中的缘故，老爸授权表姐对我进行适度的管束，比如说，如果我上课经常迟到早退的话。就这样，那位曾经让我觉得学习数学原来还能有一些趣味的初中数学老师就慢慢淡出我的视野，从此之后再也没有联系。现在想来，那位数学老师其实是个年轻的帅哥，尽管当时并不怎么觉得，呵呵。

打初中开始就知道我们所学的平面几何是欧氏(欧几里得)几何，它基于五个公理以及一些“合理的”定义，其中第五个公理并不能由之前的四个公理推导出(亦即它在欧氏几何里确实必须以公理的形式出现)，尽管我至今也无法证明它必须是公理。那时知道有两个另辟蹊径的数学家，一个是俄罗斯的罗巴切夫斯基，另一个就是德国的黎曼，先后否定欧氏几何第五公设而独立提出了两套和欧几里得几 行的新几何：罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼几何。我历来对旁门左道的知识感兴趣----当然话说回来，与其说这是出于某种求知欲，还不如说是出于某种猎奇心态----对自己的功课却不太感兴趣。所以，尽管自己中学数学学得并不怎么样，但是那时在自己的能力范围内对罗巴切夫斯基几何和黎曼几何表现得饶有兴趣(主要是黎曼几何，因为我可以在欧几里得圆上实现黎曼几何，这样就为学懂黎曼几何作了很好的铺垫)，因为学习这些不仅能满足自己的猎奇心态，而且能在同学们面前口若悬河般吹牛，这对弥补我功课学得不扎实的形像肯定有好处的。当然，兴许最主要的原因是学习这些旁门左道的知识无须考试。如果像学欧几里得几何一样需要考试的话，我恐怕早就逃之夭夭、懒得学了。考试多烦呀，是不是？

2)雅格龙之九种平面几何：高中时代

高一学习相对轻松。我除了上课喜欢讲小话、偶尔迟到早退等不算多严重的缺点外，基本上是个循规蹈矩的好学生。那时真是处在无忧无虑的年纪，衣食住行这样令人心烦的事情，父母早就给我包办了，我的唯一任务就是在成绩通知单上取得几个好看的分数，而这对我而言并不是很难的事情，尽管我高一历史期中考试差点儿不及格。因此，那时有时间办墙报和黑板报，有时间参加课外活动小组，有时间开玩笑，或者去助人为乐让自己保持某种难以言说的舒畅心情。当然，我也必须承担某种似乎是天经地义的：代表年级(自然就是学校)参加奥林匹克竞赛，为学校争光。我至今不明白那是一种压力还是一种动力，也判断不出它给我带来的是生活中的荣耀还是累赘，尽管我自问从来没有那份天赋。但是那时人很单纯，老师和学校吩咐的、期待的，尽管我可能不愿意，但是表面上还是得微笑着接受，尽管接受之后往往是某种患得患失的心态伴随着我，而我一旁却不能将这种患得患失的心态表露出来，因为父母和老师早就假设了我与生俱来有某种承受能力，因为吃苦耐劳作为一种美好的品质，早就被深深地灌输到我们的脑海里。如果我企图逃避，父母的心就会被刺伤。

记得还是高一的哪天，和另外一、两个同学“奉命”去数学老师的办公室。办公室是个比较大的集体办公室，去的时候那个办公室几乎是空的，包括我们的数学老师在内，一共也只有两个。去的时候数学老师手头还有些事情没有最后完成，于是我们就在那个办公室闲坐或者闲荡，以打发时间。忽然，我看到某个办公桌上有一本大 2开的平装书：“九种平面几何”，眼睛顿时一亮。眼睛一亮之后转而就是满腹狐疑：不是一共才三种平面几何(亦即通常的欧几里得几何，以及罗巴切夫斯基几何和黎曼几何等两种非欧几何)的吗？怎么一下子又冒出了六种？是不是骗人的？要知那罗巴切夫斯基已经非常有名了，那黎曼更是不得了，可以说是数学史上最伟大的几个数学家之一呢，尽管他英年早逝(不到40岁就因早年的贫寒和疾病死亡)。历史上的数学大师我大都能知道个大概，怎么就不知道谁和谁发现了另外六种平面几何呢？奇怪了！受好奇心驱使，我忙用眼睛扫了扫办公室，稍微提高些声调说了句“哦，九种平面几何”，然后又刻意笑了笑，也不管书是谁的，礼貌不礼貌，拿起来就看(自然是先看封面和封底，呵呵)。这时我那数学老师大概忙得差不多了，见我从办公桌上拿本书在看，似乎觉得要交代一句，就朝另外一个老师解释道：“这是我的学生，XX老师是她的表姐。”另外一个老师听见我是XX老师的表妹，忙抬头笑道：“感兴趣是吧？要是感兴趣，拿回家去看就是了，我给你打个招呼。”我有些讪然，有些发窘道：“是很有意思的，如果这位老师能借我几天就好了......如果到时有兴趣，我就去袁家岭新华书店去买(当时大约是长沙最大的书店)。不过，这位老师不在，到时我来这里直接找这位老师借好了。”

我将书名、出版社名(记得好像是上海科技出版社)、ISBN、定价等抄写到一张纸片上，出了办公室。第二天我直接找这个老师借到这本书，平装大三十二开，并说，我周末就去书店买，如果没有买到，就找出版社直接邮购，买到后就将书归还。那位老师说，这本书好像没有再版，第一版出版时间已经好多年了，即使找出版社，恐怕也难得买到。

周末按照计划跑了五一路新华书店和袁家岭新华书店，只是，天知道我是刻意去买书，还是假借其名去逛街。那时尽管年轻，体力好，但是商场和书店都很拥挤，小半天时间，脚板根儿就可以踩成两截，特别是在中山路百货大楼之类的地方，那拥挤程度，稍不甚，钱包就可能不翼而飞。结果雅格龙的九种平面几何没有买着，倒买来了别的几本书：有些是给自己买的，有的则是给别人买的。给自己买的书，内容可能很杂，但是肯定没有习题集，因为我不喜欢做习题。有的习题很难，耗费我脑细胞之余还严重地打击我的自信心，我觉得得不偿失。我当然不希望自己过于平庸，但是若在迎接挑战和得过且过之间选择的话，我宁可选择后者。那些送给别人的书则是我自作主张挑选的，别人喜欢不喜欢不是我考虑的，我无缘无故送别人书的主要目的，我现在想来，还是基于潜意识下推销自己对某些学科特别是非课堂知识的理解，希望得到别人的认同。那些送出去的书，我其实也基本上看不懂，但是那没有关系，因为我如果看不懂，别人也基本上看不懂，而我多少略知皮毛，所以我总是有在别人面前吹嘘和海阔天空的资本，尽管我说的大部分是错的，但是别人并不知道我说的是错的。

于是只好回头啃那本借来的书，同时与上海科技出版社联系。古人所云，书非借不能读也，还真的有道理。我没法知道能否从出版社买来此书，又不好意思从那位和我并不熟的老师那里借很长的时间，所以只好抓紧时间阅读，只不过书不是自己的，素来喜欢在书上做记号划横线的我只好忍得牙痒痒的。那本书的译者是谁我忘记了，但是作者雅格龙却深深地印在了我这木木笨笨的脑袋里。作者雅格龙是俄罗斯人，据译者所记载，原书名是《伽里略相对性原理和非欧几何》，但是书比较长，译者选择了翻译前两章，外加一个很长的附录，《九种平面几何》这个书名实际上是译者加上去的。书并不难，我那时勉强就能看懂大半，算得上是深入浅出，那种行文之优雅、结论之简洁、论证之巧妙，让我不得不和艺术品这个词语联系起来。后来我成了学校数学和物理两科的奥赛成员，高二就开始学一元初等微积分，间接地知道了以俄罗斯人为代表的东欧人的厉害，那种严谨和简洁，以及训练有素，再加上《九种平面几何》等书的行文之风，让我对俄罗斯、波兰、匈牙利的学生敬畏了许多年，直到我研究生学业阶段。

当上海科技出版社最终将据说已是所剩无几的《九种平面几何》之一寄给我时，我已经将那本借来的书看得差不多了。当收到那本渴望已久的书时，我心里忽然产生了一种怪念头，希望自己能变得激动起来，因为自己如果还能激动的话，那就表明了我对学习新知识还是很渴望的，也就是说，我以后基本上还能更上一层楼。我拆开了书，很新，散发出一种淡淡的书香，给我的感觉是那般遥远和熟悉，像某种君子之交的朋友，尽管我至今也没有为它激动过。从书中我知道了平面几何依照边和角的度量是椭圆形、双曲型或者抛物型而分成九类，例如最简单的欧几里得几何，其边和角的度量都是抛物型的，黎曼几何对应于椭圆-抛物型。从代数角度而言，每种平面几何对应于某种变换群的不变量论(这就是德国数学家克莱茵著名的埃尔朗根纲领，对数学本质的理解产生了深远的影响)，例如欧几里得几何对应于伽里略变换群(从物理角度而言，这就是牛顿经典力学)，洛沦滋变换群实际上对应于电动力学和狭义相对论。那时初步感觉到了数学和物理之间这种简单和对称之美，尽管以后我没有继续学这两门学科之一，但是这种简单和对称之优美，却足以震撼人心，给人以欢愉和快乐。我觉得，现在有些诗人大谈特谈什么数字和诗歌之联系，或者什么诗歌之美的科学根据，那完全是无稽之谈。文学里诸多理论中唯一称得上美的，只有近体诗歌的格律理论，但是其美给你的感受，却和能真正领悟伽里略变换群和牛顿力学之间本质上是一回事情给你的震撼，那还是远远不能相提并论的。

共 8012 字 2 页 转到页 【编者按】从质点几何到九种平面几何，这样的过渡，作者掺杂了自己的成长经历以及对九种平面几何的解读和深入，文章涉及很多的专业知识，洋洋洒洒，值得品读。【：秋风向晚】

1楼文友： 15:01:28 对于我这个理科不是很感兴趣的人来说，虽然有点吃力，但看作者文章，还是很受益的。问候：））

回复1楼文友： 20:59:04 嗯？应该木有专业词汇啊，都是些普通的、常见的名词。

2楼文友： 14:54:15 欣赏朋友的文字，富有知识性和思想性，在表达方式上，干练整洁，自然顺畅，颇见个性！学习！

祝福朋友新年快乐，龙年大吉，创作丰收！ 作品见于《新民晚报》、《羊城晚报》《小小说选刊》《短篇小说》《青年教师》《椰城》《青少年与法》《深圳警察》《燕赵都市报》《北方作家》《做人与处世》《考试与招生》等全国各级报刊！

楼文友： -24 09: 0:52 问候！你好！拜见呐！ 你的博文不错！ 嗨！我笔名吉翁！渴求关注！渴求点评！渴求收藏！渴求转载！互相关注吧！顺应 一首 ： 创建雷锋市，居民有共鸣。 互帮加友爱，携手启征程。 欢迎到《笔友吉翁、吉才》、《湖南作家吉翁、吉才》、《CNTV吉翁》赏光，给吉翁加油把！拜托！ 新浪jiweng@; 吉翁；笔友:吉翁、吉才、笔架城； 湖南作家：吉翁、吉才；CNTV吉翁。中华辞赋：碧野；中华风雅颂：碧野腾龙

回复 楼文友： - 1 02: 7: 4 我在湖南作家也挂了个帐号 (同样的 ID)。不过很久没有登陆过了。

今天跑去一看，那个站好像没什么人气了，乱哄哄地。一个有好几个专职人员打点的站办成那个样子，实在没法理解。

去看看，看能否搜索到你的 ID

4楼文友： 00:57:11 可读性很强，让人受益匪浅，在此问候^_^

回复4楼文友： 06: 1:10 极少登录这里了，呵呵，迟复为歉。

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